재료탄소성학 [7] Atomic level에서의 Slip (이론 vs. 실험), Peierls & Nabarro 방정식

2025.02.03 - [재료탄소성학] - 재료탄소성학 [6] 보충) Atomic Level에서의 스프링 Constant

재료탄소성학 [6] 보충) Atomic Level에서의 스프링 Constant

 

 우리는 이전 강의까지 비교적 macro한 관점에서의 defect과 dislocation에 대해 알아보았다. 그렇다면 거시적 관점이 아닌, 미시적 관점에서의 물질의 움직임을 살펴보아야할 차례이다.

 

 

 다른 defect들이 전제되어있지 않을 때, 물질에서 일어나는 가장 큰 defect은 보통 Slip이다.

 

 

 atom이 빽빽하게 들어있는 물질을 가정해보자. 물질에 shear stress가 가해진다면 atom들이 밀리면서 원자 스케일에서의 소성변형이 발생할 것이다.

 

Energy 적으로 가장 불안정할 때는 언제일까?

 

정답은 2번

 

 

 각각 1번, 2번, 3번 상황의 원자들을 관찰해보면, 완벽하게 위아래에 원자들이 존재하는 2번 상황에서 원자들은 energy적으로 가장 불안정할 것이다. 이를 그래프로 살펴보면 다음과 같다.

 

 

 우리는 원자들의 거리가 b/2만큼 이동했을때 lattice Energy가 가장 크게 증가하는 것을 확인할 수 있다. Lattice Energy가 작을 수록 formation이 안정하며, b/2까지 원자가 이동하기 전까지는 elastic deformation으로, 원래 형태로 돌아가는 것을 확인 할 수 있다. 그렇다면 여기서 b란 무엇일까?

 

burger's vector(버거스 벡터, b)

: 결정 구조에서 전위( dislocation )가 이동할 수 있는 단위 거리.

 

 이 버거스 벡터는 매우매우 중요한 개념으로 특히 slip에서 주로 사용되는 개념이다. 이는 매우 중요한 개념이니 반드시 숙지하자.

 

 이전 강의에서와 마찬가지로, lattice에너지와 x(원자들의 이동거리) 에서 shear stress를  유도해 그래프를 그려보자.

 Lattice E를 원자들의 이동거리로 미분하면 shear stress를 구할 수 있으며 이때의 최댓값은 격자 저항을 극복하는데 (격자를 깨고 움직이는데) 필요한 최대 전단 응력이다. 

 

 보통 linear elastic에서는

라는 익숙한 식의 형태를 이용한다.

 

 그렇지만, 반경(r)에 따라 전단 응력의 변화를 사용할 때에는 아래와 같이 식을 변형하여 사용한다. 

 

 

 또한, 위의 그래프가 sin그래프임을 통해 다른 식들을 더 유도해낼 수 있는데, 유도 과정은 아래와 같다.

 

 이 유도과정에서 주의할 점은 최댓값이 shear max라는 점과 이동거리(x) 와 격자간 원자 사이의 거리(a)의 비로 r값을 구할 수 있다는 점. 마지막으로, a와 b(버거스벡터)의 값이 비슷하다고 가정한다는 점이다.

 

  우리는 이처럼의 유도과정을 통해 shear stress의 maximum 값에서 modulus로 유도할 수 있다는 것이다.

 

 

 

 이처럼 우리는 atom간의 defect이 slip을 통해서만 일어난다고 가정을 하고, shear stress를 구해보았다. 그렇다면 이제 우리가 구한 이론값과 실험값을 비교해보자.

 

이론값과 실험값의 차이가 꽤 큰것을 확인할 수 있다.

 

 

이론값과 실험값의 차이가 매우 크다.
무엇이 문제일까?

 

 

 바로, 이전에 세웠던 가정의 문제이다.

 우리는 이전에 atomic level에서의 slip만이 defect을 만든다고 가정하였지만, 실제로는 그렇지 않다. 결함을 만들거나, 없애는 요인은 매우 다양하게 존재하기 때문이다.

 

 

 이러한 다양한 결함의 요인을 반영하여 세워진 식이 바로 Peierls & Nabarro 방정식이다.

 

 

Peierls & Nabarro 방정식