집적회로소자개론 [3] Doping, Carrier Concentration, Fermi Level

 

집적회로소자개론 [2] Si과 Band Diagram

 

 

1. Intrinsic/ Extrinsic SemiConductor

1-1. Intrinsic Semiconductor

 Intrinsic Semi-conductor는 불순물이 없는 반도체로, 전자와 정공의 개수가 같다. 

이때의 n=p=n_i라고 하며, n_i를 intrinsic carrier concentration (고유 캐리어 농도)라고 한다.

Si의 원자 수는 10^22 [cm-3]인데 비해, 고유 캐리어 농도가 작기 때문에 자유 전자는 극히 일부만 존재한다. 따라서, 순수 Si는 전기가 거의 흐르지 않는다.

 

1-2. Extrinsic Semiconductor

그렇다면 전기가 잘 흐르려면 어떻게 해야할까? 바로 doping(불순물 첨가)을 하면 된다.

 

 P, As 같은 N-type donor는 전자가 5개로 Si 보다 한개 더 많아 자유 전자가 증가하고, B와 같은 P-type Acceptor는 전자가 3개로 하나 부족하기 때문에 정공이 생성된다. 

doping 시 전자와 정공이 생기는 모습

dopant의 종류

 

 Li, Sb, P, As 등은 에너지 gap의 차이가 적어 상온에서도 conduction band에 올라간다. 이들은 매우 적은 Energy로도 전자/정공을 만들어내는데, donor는 Conduction Band 바로 아래에 준위를 생성하고, acceptor는 Valence Band 바로 위에 전위를 생성해 상온에서도 쉽게 이온화하기 때문이다. 즉, 도핑은 새로운 에너지 레벨을 생성하는 것이다.

 

 

 

 T= 0K일 때에는, 온도가 낮아 donor의 전자가 거의 튀어나오지 않아 carrier가 거의 없지만, T가 증가할 수록 donor ionization이 시작하며 상온에서는 거의 다 ionized 된다. 

 

 따라서 보통 다음과 같이 가정한다.

2. Carrier Concentration

 우리는 doping을 통해 인위적인 carrier를 생성해 내는 과정을 살펴봤다.

 

그렇다면 carrier의 농도는 정확히 어떻게 계산 할 수 있을까?

 

Carrier Concentration(=density)을 구하기 위해서는 Density of States와 Fermi-Dirac distribution에 대해 반드시 알아야한다.

 

2-1. Density of States (DOS), g(E)

Density of States (DOS) :  그 에너지에 상태가 몇개 있는가?

 

 

Density of States (DOS)

 

 그래프를 보면 알 수 있듯, 밴드 끝에서부터 상태가 증가하는 것을 확인 할 수 있다.

 

2-2. Fermi-Dirac distribution, f(E)

Fermi-Dirac distribution, f(E): 그 상태가 채워질 확률

 

 위 그래프의 의미를 해석해보면 다음과 같다.

E = Ef	50% 확률 (전자가 있을 수도 없을 수도)
E > Ef	거의 비어있음
E < Ef	거의 채워짐

 

 또한, 온도가 올라가면 전자가 흥분해서 위로 올라가 분포가 퍼지는 것을 확인할 수 있다.

 

2-3. 최종 Carrier 농도 계산

 이제 최종 carrier 농도를 계산하면 다음과 같다.

 

 

3. Intrinsic/ Extrinsic에서 Ef 위치

3-1. Intrinsic에서의 Ef

 위에서는 적분 식을 이용하여 carrier의 농도를 구했었다. 이때 Ef(Fermi Level)을 이용하여 carrier를 표현해보자.

 

 

 실제로는 정공과 전자의 유효 질량이 같지 않지만, 이를 같다고 가정하면 다음과 같이 간단하게 줄일 수 있다. 이때 Ei는 거의 밴드의 중앙에 위치한다.

 

3-2. Extrinsic에서 Ef의 이동

 N-type doping을 할 경우, donor를 주입하기 때문에 전자가 많아져 Ef가 상승한다(Ec 쪽으로 이동한다). P-type을 doping할 경우, acceptor를 주입하여 정공이 많아지고 Ef가 Ev쪽으로 이동한다.

 

 

 위의 그래프를 보면 알 수 있듯이 Ef는 전자 밀도의 위치를 나타낸 다는 것을 알 수 있다. 위로 올라갈 수록 전자가 많고, 아래로 내려갈수록 정공이 많다.

 

이처럼, Ef를 이용하여 carrier의 농도를 구하는 식은 다음과 같다.

 Ef가 Ei 보다 위에 있을 경우 전자가 폭발적으로 증가하고, Ef가 Ei보다 아래에 있을 경우 정공이 폭발적으로 증가한다. 또한, 이 두 식을 곱하면 새로운 관계식을 얻을 수 있다.

 이 관계식을 통해 아무리 도핑을 하더라도 전자가 많아지면 정공이 줄고, 정공이 많아지면 전자가 줄어들면서 항상 균형을 유지한다는 것을 확인할 수 있다.

 

4. Doping량에 따른 Ef의 이동

 

위 식에서 Ef- Ei에 대한 관계식을 구하면 다음과 같다.

 

 위의 관계식을 통해 N type에서는 도핑이 많아질 수록 Ef가 증가하고, P-type에서는 도핑이 많아질 수록 Ef가 감소하는 것을 알 수 있다.

 

5. Temperature와 Ef

Doping vs. Fermi Level

N-type	P-type
ND​↑ → 로그값 ↑ = EF ↑ (Ec 쪽으로 이동)	N_A​↑ → 로그값 ↑ EF ↓ (Ev 쪽으로 이동)

 

도핑을 많이 할 수록 Ef가 밴드 쪽으로 붙는 모습을 볼 수 있다.

 

또, 위의 식에서 약 300 K에서  kT≈0.025eV 정도가 된다. 이때 Heavy-doping을 해 EF가 Ec에서 3kT(=0.075 eV) 이상 떨어져 있으면, conduction band에 전자가 매우 많아, 금속처럼 행동(degenerate)한다. 따라서, 반도체로서의 역할을 하지 못할을 하지 못한다. 즉, 3kT는 전자가 실제로 존재할 수 있는 에너지 범위이다.

 

 

반도체에서 온도에 따라 전자 수가 어떻게 바뀔까?

 

 온도에 따라 누가 carrier를 지배하느냐가 바뀐다. 낮은 온도에서는 아무도 움직이지 못하지만, 중간 온도에서는 doping이 지배하고, 높은 온도에서는 intrinsic이 지배한다.

 

Freeze-out 영역	- 온도 너무 낮음 - donor가 전자를 내놓지 못한다 n≈0
Extrinsic 영역	- 온도가 적당히 올라감 - donor 거의 다 ionization
Intrinsic 영역	- 온도가 매우 올라감 - n≈ni​