전자재료개론 [5] 페르미 디랙 분포(Fermi-Dirac Static)

전자와 정공(Electron과 Hole)

 

 Valence Band에서 Conduction Band로 전자가 이동한다는 것은 Valence Band에 정공(hole)이 발생하는 것과 같다.

즉, 전자가 움직인다면 정공은 전자의 역방향으로 움직인다는 것과 같다.

 

 우리는 왜 전자 뿐만 아니라 존재하지 않는 입자인 Hole의 개념을 사용할까?

 우리가 Hole을 사용하는 이유는,  Electron이 많은 상황에서 쉽게 생각할 수 있기 때문이다. 즉, 비교적 electron이 많은 Valence Band에서는 hole을 electron이 적은 Conduction Band에서는 Hole을 count하는 것이 편할 때가 많다.

 

이처럼 정공과 전자의 관련성이 높은 것처럼, 전자와 정공의 유효질량도 깊은 관계가 있다.

 

 

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Entropy, Entalpy, Free energy

 

 

 자연계는 항상 free energy를 낮추는 방향으로 향한다. 즉, A의 상태보다 B의 상태가 free energy가 낮다면 B의 상태로 변화하려고 한다.

 

이에 관한 식은 다음과 같다.

 

$$ G= H-TS $$

 

 

i) T = 0 K일 때

 

$ G= H-TS $ 에서 TS는 0이 된다.

즉, $G=H$가 되고, Entropy는 경우의 수를 의미하기 때문에 경우의 수가 0이 된다.

 

 

ii) T > 0 K 일 때

 

 E를 가하면, 박스안 점(집 안의 Electron)이 열역학적 반응으로 올라가게 된다.

 

 우리는 이러한 법칙들을 Fermi -  Dirac 분포를 이용하여 설명할 수 있는데,

 

 

그 중에서도

 

1) Density of State( 상태 밀도 )

= 어떤 특정 Energy에 따른 집의 개수

 

2) 특정 Energy에서 전자가 집을 채울 확률

= 그 energy에서 집에 거주하는 electron의 개수

 

를 주로 설명하게 된다.

 

 

이러한, 페르미 -  디렉 분포의 식은 다음과 같다.

 

$$ \frac{1}{1+exp\frac{E-E_f}{kT}} $$

 

$$ {Density of State ( 상태 밀도 )} * {Fermi - Dirac 분포} = { electron concentration( 전자의 농도) } $$

 

가 된다.

 

즉, 

$$ f_F(E)= \frac{1}{exp(\frac{E-E_F}{k_BT + 1})}=\frac{N(E)}{D(E)}$$

 

이 된다.

 

위의 식을 통해,

1) 온도가 높아지면 Energy가 높아진다.

2) Energy가 높아지면 전자가 있을 확률이 Exp하게 감소한다

 

는 것을 알 수 있다.

 

 

 

페르미 - 디랙 Static

 

 

 

Fermi-Dirac Static

 

페르미 디렉 분포의 그래프를 보게 되면, 온도가 점차 올라갈 수록 그래프가 $E_f$을 기준으로 대칭을 유지하며 빈 부분이 발생하는 것을 확인할 수 있다. 이때, $E_f$ 지점에서의 확률이 0.5로 항상 일정하며, 이 지점은 E의 이동 예측 수단으로 사용된다.

 

 

따라서 페르미 디렉 분포가 중요한 이유는 0.5 라는 확률값이 아닌 $E_f$ 를 통해 Energy의 비교가 가능해지기 때문에 Reference Point로서 굉장히 중요한 개념이다.

 

 

 

이 그래프를 잘 보면, 모순을 발견할 수 있다.

 

Band Gap에서의 전자의 존재 확률은 0인데, 왜 $E_f$는 0.5일까?

 

 그 이유는 $E_f$ 지점에서의 집(=상태밀도)가 0이기 때문에, $E_f$값이 집의 개수와 관계가 없는 수치 이므로 가능한 일인 것이다. 또한, $E_f$는 집의 개수와 관련이 없고, 오로지 Energy에 의해서만 결정이 되며 그래프의 Shape은 T값에 의해서만 결정이 된다.

 

정리해보자면

$E_f$ 는 'Energy'와 관련된 것 (상태밀도 X) 이고,

그래프의 Shape는 Temperature와 관련이 된 것이다.