결정구조 및 분석 [6] Bravais Lattice와 원칙

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결정구조 및 분석 [5] 등방성과 이방성, 방위와 집합조직, Lattice와 Basis

 

1. Bravais Lattice(브라베 격자)

 

 브라베 격자란, 3차원에서 가능한 격자 배열의 기본 틀을 의미한다. 격자점이 공간 전체를 주기적으로 채우는 가장 기본적인 방식이다.

 

 지금까지 다룬 내용을 바탕으로 흐름을 살펴보면, Bravais lattice는 공간 반복 배열의 기본으로 기본적인 공간 대칭성을 결정짓는다. 예를 들면, HCP/ BCC/ FCC/ SC를 결정짓는다. 이를 통해 Bravais + 격자 상수와의 조합으로 Lattice가 생성된다. Crystal Structure은 Lattice와 Basis의 조합으로 결전된다.

 

 

 브라베 격자는 14종이 존재하는데, 가능한 기본적인 유형을 모아보면 14종이 나온다.

 

7개의 crystal system

 

 기본적으로 3D 공간에는 7개의 결정계가 존재하는데, 여기에 점 중심 방식(P, I, F, C)을 조합하면 브라베 격자 14종이 나온다. 7 * 4 = 28이지만, 대칭정 중복 혹은 동등한 격자 등을 제거하고 보면 고유한 격자는 약 14개 뿐이다.

 

점 중심 방식
: 단위 격자 안에 격자점이 꼭짓점 외에도 어디에 추가로 존재하는 가를 나타내는 분류

P: 꼭짓점만
I: Body centered
F: Face- Centered
C: Base-Centered

브라베 격자의 종류

 

 

 

1-1. 브라베 격자의 4가지 원칙

 

1) 동일한 이웃 조건을 가져야 한다.

- 격자 내 모든 점은 대칭적으로 완벽하게 같은 주변을 가져야 하며, 어떤 점에 서든 그 점을 중심으로 구조가 똑같아야 한다.

 

2) 모양만 바뀐 경우(본질은 같으나)는 새로운 격자가 아니다.

- 새 격자점을 추가했더니 모양은 다르지만, 본질이 같다면 새로운 브라베 격자가 아니다.

- 예를 들어, P격자에 격자점 하나 추가하여 생긴 것이 기존 격자와 모양만 다르고 대칭은 같다면 새로운 종류가 아니다.

 

3) 대칭성이 더 낮아졌다면 새로운 브라베 격자가 아니다.

- 새 점을 추가했더니 원래보다 대칭성이 떨어졌다면, 새로운  Bravais 격자가 아니다. 브라베 격자는 가능한 대칭성이 가장 높은 기본 구조여야 한다.

 

4) 같은 점들을 여러 방식으로 표현할 수 있을 때는 가장 대칭성이 높은 걸 선택한다.

- 여러 표현이 가능할 떄에는 대칭성과 단순성이 가장 높은 것을 Bravais 격자로 본다.

 

 

이 네가지 원칙을 하나로 정리하면, 브라베 격자는 대칭이 높고, 모든 점이 동등하며, 가장 단순한 구조여야 하며, 중복 없이 오직 14개만 존재한다

 

1-2. 브라베 격자의 4가지 원칙 예시

 

1) 원칙 2 사례

 

① Tetragonal의 C(윗/아랫)면의 Base Centered(I)에 새로운 격자점 추가

 

 

 위의 경우 새로운 모양과 부피를 가지지만 똑같은 bravais tetragonal P 격자가 만들어진다.

따라서 원칙 2가 성립하지 않기 때문에, 브라베 격자가 성립하지 않는다.

 

② P Monoclinic 격자 C면 Base Center에 새로운 격자점 추가

 

 

 위의 경우, 다른 모양이나 부피를 가지지만 똑같은 브라베 격자가 존재하기 떄문에 새로운 Bravais 격자로 인정하지 않는다.

 

2) 원칙 3 사례

① P Mono Clinic 격자 B면의 Base Center에 새로운 격자점을 추가

 

 새로운 격자점을 추가해 이전 Bravais P 격자(P Monoclinic)에 비해 더 적은  대칭성을 가지는 브라베 격자가 만들어지면, 새로운 격자로 인정하지 않는다.

 

3) 원칙 4 사례

① Face-Centered cubic

 

 원칙 4에 의하여 하나의 결정에 존재하는 격자점들이 다수의 브라베 격자로 표현될 수 있을 때, 대칭성이 가장 많은 브라베 격자로 취급한다. 따라서, P Rhombohedral에 비해 대칭성이 많은 Face-Centered cubic 격자가 맞다.

 

② P tetragonal 격자의 모든 면의 Face-Center에 새로운 격자점 추가

 

 

 위 경우 하나의 결정에 존재하는 격자점들이 다수 Bravais Lattice로 표현될 수 있을 때. 가장 많은 대칭 요소를 가지는 Bravais 격자를 이 결정을 브라베 격자로 정한다는 원칙 4에 의해 'Body Centered Tetreagonal' 격자를 만들 수 있다.

 

 

③ P- monoclinic 격자의 B-면 Base center 에 격자점 추가

 

 

 새로운 격자점을 추가해 새로운 병진 조작이 가능하고 Bravais P 격자에 의해 많은 대칭성을 가지는 Bravais 격자가 만들어지기 때문에 새로운 격자점이 만족된다.

 

 '병진 조작'이랑 격자 전체를 일정 벡터만큼 이동시키는 것으로, 어떤 격자점을 특정 거리만큼 이동시켰을 때, 원래 격자와 완전히 겹치거나 일정하면, 그 이동은 병진 대칭성을 가진다는 뜻이다.

 

 위의 그림에서는 새로운 점을 추가함으로써, 원래 없던 반쪽 ( a/2, c/2)방향 병진이 가능해졌다는 것이다.